《高中数学课程课标》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。如何在数学教学中更好地落实《课标》的要求，实施探究性教学，更好地培养学生的数学素养和数学思维能力是我们每个数学老师一直在探索的课题。

数学探究，在不同的教学阶段有不同的形式；在不同的学情之下也有不一样的探究途径；在不同的课堂氛围中需要不同的探究方式。它是一门艺术，一门数学教学的艺术，极大地考验着教师的教育机智和教育智慧。下面结合本人两轮高三教学的实际，谈谈如何在高三数学复习课中，如何巧借学生的错误，实施有效探究。

一、用好经典错误，探究知识的本质

在数学教学中，有些错误是非常经典的，每一届学生都会在上面犯错，而且错误的细节都是一样的。面对这样的问题，我们也许会在学生错误的地方多次强调，强调的次数多了，学生形成条件反射了，也许就不会在这个问题上犯错了。然而，过一段时间，或者同样的知识点，换一个情境，学生依然再次犯错。原因何在？学生没能真正理解知识的本质，只知道怎么用它，但却没有把里面的原因搞清楚，没把知识的来龙去脉弄明白，结果只能是一错再错，这让我们高三数学老师一再抱怨。其实，我们换一个思路，换一种教学方式，许多学生的经典错误是可以迎刃而解的。

案例1、在进行函数的单调性的复习时，学生有个经典的错误,喜欢把两个单调区间用并集符号连接，而且在高一新课时也多次强调，但学生到了高三依然错误照犯，在一轮复习时，我这样设计的：

师：函数的单调减区间是什么？（请学生回答）

生1：

生2：

师：为什么把并集符号改成逗号呢？

生2：（回答不上来）以前的老师这样说的

此时，我以小组讨论的形式进行，引导学生从单调性的定义出发进行探究，通过2分钟的讨论

生3：函数是在这两个区间上分别是单调递减的，而在这个区间上不满足单调性的定义，举个反例，，但，随即从函数的图像上进行了认识。在此基础上，进行了函数单调性定义的复习。

从学生的后续学习情况来看，该问题学生理解得比较透彻，以前的经典错误通过这样的探究，让该错误从根本上得到了解决。事实证明，高一高二新课学习过程中学生不能理解的东西，到了高三，学生的数学思维能力已经有一定程度的提升，我们若能较好的组织好教学，根据问题的实际，合理安排探究，往往能一劳永逸。

二、借力一个错误，探究一类问题

学生在学习过程中的错误，我们作为教师一定要做个有心人。有时候可以借助学生的一个错误，顺着错误的题目探究下去，进行寻根问底，找出正确解法的同时，也许会有意想不到的效果，那就是不仅解决了这一个问题，还把与之相关的一类问题一起解决了。这样的探究，即使花了一些时间，但从效率上来说，也是值得的，因为不仅解决了这类问题，还教会了学生对待错题的方法。

案例2、在高三一轮复习过程中，有下面一个题目：

已知关于的方程，根据下列条件求实数的值

（1）方程有两个不相等的正根

（2）方程有两个大于2的不等的实数根

学生在作业中，第（2）问用了第一问的方法，

我在作业讲评过程中，把这种错误的做法展示出来，与学生一起探究。

师：为什么这种做法不对？

生：由和不能确保两个根都大于2，比方说，取

师：为什么第(1)问可以用两根之和，两根之积呢？

生：两个数之和与两个数之积都大于零就能确保两个数大于零。

师：那我们能否把第（2）问稍微改进一下，用第（1）问的方法解决呢？

生：（思考了一会）把与看作一个整体，他们都是大于0的，就可以用上面的方法了

师：非常好，除了这种方法以外，还能有别的途径吗？

此时，有学生提出利用二次函数的图像为工具，来解决。在此基础上，我又把一元二次方程的根的分步的其它问题抛出来，让学生研究，通过研究，学生得出结论，如果两个根都同时大于某个实数或者都同时小于某个实数，则可以借助两根之和与两根之积来解决，否则，需要借助函数图像，来研究根的分布。

通过学生作业中的一个错误，我们进行深层次的研究，合理设计探究问题，让学生分析错误原因，寻找解决问题的方法，进而不仅把错误的问题解决了，还解决了一类问题。

三、抓住课堂意外，探究错误缘由

课需要预设，但一节好课只有预设是远远不够的，更多的是课堂生成。在课前预设的前提之下，结合课堂的实际情况，学生的上课反应等，运用教师的教学智慧有效生成，才能让课堂更精彩。在教学过程中，万事皆有可能，有时候学生的反应和回答会超出教师的预设范围。此时，作为教师的我们不能惊慌，更不能回避，而要冷静分析，巧妙应对，变被动为主动。在合适的时候，巧妙地抓住课堂意外，合理组织探究，从学生的思维起点出发，寻找解决问题的方式和学生理解错误的缘由，往往能让学生更积极地参与到教师组织的教学活动中来，通过教师与学生，学生与学生之间思维的碰撞，使得课堂教学更有实效性。

案例3、在《函数的单调性》一轮复习过程中，课堂教学中遇到了这样一个问题：

已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是

拿到这个题目，我与学生一起进行了分析，将该函数变形为，然后借助函数图像进行分析，得到，由此可得答案，然后与学生一起欣赏该题的解法，正在陶醉于运用函数图像解决函数单调性问题中的好处时，一位学生的手高高地举起来了，我示意他发言。

生：老师，为什么我运用导数做的答案不一样？

师：具体说说。

生：对该函数求导，，得到答案

此时，其他学生也觉得奇怪，我们一起检查了一下，发现计算没有问题。看到学生对此很有好奇心，我没有轻易放弃，更没有直接解释原因，而是对学生示弱，我说：“我也还没想出原因，要不我们一起想想，同桌可以相互讨论。”

过了一会儿，有好几组同学有了结果，一位同学站起来发言：对任意的都成立，说明首先应该考虑该函数在上有意义，即。

其他同学听了以后，频频点头表示认可。此时，我进一步抓住机会，

师：所以，我们在研究函数时，一定不要忘记它的定义域，正如我们求函数单调区间一样，也要在定义域中考虑，所以才要首先求定义域。

通过这个问题的探究，学生不仅在这个题目上印象非常深刻，同时对函数定义域的重要性有了更进一步的理解，从某种程度上也进一步让学生体验了“求单调区间要先求定义域”这个学生容易犯错的知识点，可谓一箭双雕。

学生在数学学习过程中，往往会有这样那样的错误，面对学生的错误，只要我们做个有心人，积极思考，努力解决，巧妙地借助学生的错误，实施有效探究，不仅可以较好地纠正学生的错误，加深学生对知识的认识，而且长期这样教学，还能培养学生的数学探究能力，提升学生的数学思维品质。