浅谈数学题后反思　　

无锡市堰桥中学高中数学教研组  张治才　　

摘要：题后反思是解题之后对数学题目的深层次再思考.本文从反思错误原因、题目涉及的知识、题目的类似性、解题方法、题目结论等五个方面阐述解题后的反思方法,以加深对知识理解的层次,提升解题效率和解题能力,优化学生的思维品质.

关键词：反思 ；提升； 内化； 解题　　

多数数学教师在教学中都会遇到如下情况：讲过多遍的题型学生仍然不会迁移运用,教师越是强调容易出错的地方,学生却偏偏在强调的问题上出错.这是什么原因呢？究其根源,在于教师所讲授的知识没有真正内化为学生自己的知识,学生只会模仿,却没有真正掌握知识的实质.因此,才导致一道题目一而再,再而三地讲,学生掌握情况仍不理想,这样既花了很多时间,又没能见成效.那么,可否避免或最大限度地减少这种情况的发生？笔者根据教学实践,认为教会学生题后反思是一种有效的途径.

什么是题后反思？数学教育家波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾.”这里的回顾,其实就是题后反思.当然,题后反思不是在解题后简单地回顾或重复,它是解题之后对数学题目的深层次再思考,是探究数学解题活动中所涉及的数学知识、方法、思路和策略等,有很强的自主性、探究性和批判性.题后反思不仅能使学生在知识上查缺补漏,加深对知识本身的认识和理解,提升对知识理解的层次,而且在数学思想方法上能不断内化、提升,进而起到提升学习能力和优化数学思维品质的作用.

 如何进行题后反思？笔者认为,所有的题目都反思也不现实.对一些经典的“好题”或做错的题（尤其是屡次做错的类型题）都应进行题后反思.在反思的过程中,可以从以下几方面着手.

一、 反思错误的原因,加深对知识本质的认识　　

一道题目做错了,我们要静下心来思考,是什么原因导致该题做错,是对知识本身没掌握还是思维不严谨等,并思考：为什么要像老师那样解,自己的错误出在哪里,怎样才能避免这种错误再次发生.

例1、求函数的值域

错解：因为,所以原函数的值域为

反思：在教学中,要引导学生反思这种解法错在哪里,思考正确的解法,并反思是什么原因导致了错误的解法和解决的途径.该错解错在没有弄清基本不等式,当且仅当时取等号）应用的前提条件必须是都是正数,题目中并不一定是正数,因此不能直接运用基本不等式.正确的解法应该是分两种情况求解或借助“双对钩”函数的图像求解.此题得到正确解法后,千万不能就此结束,应该进行深入思考,为什么该题会出错,原来是基本不等式的理解还没到位.此时,回归教材,重新结合该题目,理解应用基本不等式中的“一正,二定,三等号”,通过这样的反思,对基本不等式这个知识本身有了更明确、深入的认识.

例2、过点（1,3）作圆的切线,求切线方程

错解：设切线方程为,因为直线与圆相切,所以,解得,所以所求直线方程为.

反思：这一点在圆外,那么由几何性质所求出的直线方程应该是两条,而此错解求出的是一条,另一条在何处漏掉了呢.初看此解法,也许看不出破绽,进一步地思考,在设直线方程为时,没有考虑直线的斜率是否存在,对于斜率不存在的情况应单独考虑,斜率不存在时,直线方程为满足题意.到此为止,也许很多漏解的同学认为是自己粗心而出错,因此不把它当回事,导致下次碰到这类问题时,再一次“粗心”而错.为了避免再次出错,我们应深度反思,此题错误仅仅是“粗心”吗？其实这种粗心的根源在于我们在设直线方程为点斜式时还没有考虑斜率不存在时的情况的意识,进一步地思考,为什么会没有这种意识,思维的严谨性是一个原因,更重要的是对直线的点斜式方程没有很好的掌握,脑子里对“点斜式方程不能表示斜率不存在的直线”没有明晰的认识.此时,回到教材直线方程的位置,思考为什么要将斜率不存在的直线单独考虑,原来点斜式方程中有斜率,那就一定要存在斜率.再结合图形,垂直于轴的直线不能用点斜式表示.因此,在求直线方程的题目中,为了避免出错,要用直线的点斜式方程,就要首先考虑斜率不存在这种特殊情况.经过这样的反思,此题才能达到一定的效果.

对错题进行反思,可以加深对知识本质的理解.学生自己的反思过程是一种很好地将知识内化的过程,当学生真正将知识内化为自己的知识以后,就不会出现教师讲了很多遍学生仍然做错的情况了.

二、反思题目涉及的知识,促进整个知识块的掌握　　

学习数学,想要做完所有的题目是不现实的.死搞“题海战术”的收效甚微,因此,在做题后,就应该对一些典型题目进行反思,以该题为基础,反思题目涉及的知识,争取掌握一个知识块的内容.若有涵盖该知识块所有知识的经典“好题”,那么，用这样的题进行反思,当然很好.但在很多情况下,题目并非那么理想,这就需要我们在题后反思的过程中,充分联想,联想与该题相关的知识有哪些,会有哪些题型,它们是以怎样的形式呈现,并归纳整理,能使我们容易形成知识网络和体系,通过这样的知识“再加工”,有利于知识块的掌握.

通过上述例1的反思,对基本不等式中“一正”的理解很透彻了.此时,可以进一步联想平时做过的题目,思考“二定,三等号”又应如何把握,这个知识块还有哪些其它类型题.在反思的基础上,可以整理出下列类型题.

题1：求函数的值域

题2：求函数的最小值

题3：求函数的最大值

（题1是加深对“三等号”的理解,题2是基本不等式的变形应用,题3是构造定值及基本不等式的另一种形式的应用）

从一道错题,通过这样的深度反思,对基本不等式这一知识块的内容形成了较好的知识网络体系,并且明确哪些地方容易错,如何避免.这比就题论题地做十道题的作用更大.

三、反思题目的类似性,提升分辨题目的能力　　

    一些题目看起来很类似,但解法却不相同,这让很多同学很为难,以至于有时候分不清到底该如何下手.这除了理解题目的本质外,还需要我们题后反思：跟这个题类似的容易混淆的有什么题型,两者之间有何区别.把两个看起来类似的题目进行比较,通过比较,加以区别,从而提升分辨题目实质的能力.

例3、（无锡市2011年高二期末试卷第7题改编）

（1）存在,使得成立,求的范围

（2）任意,使得成立,求的范围

分析：这是两个条件很相似的题目,只差两个字,但结果却不同.在做的过程中也很容易混淆,因此做完这两个题目后,把它们放在一起进行比较.第（1）题是一个存在性问题,第（2）题则是任意性的问题.把变形得,记,第（1）题,只要存在,参数大于等于就可以,我们可以有这样的思维过程：当很大时,满足题意,那么,最小能取多少,要满足存在,使得,即在中至少要取一个值,满足 ,所以的最小值就是的最小值,所以,而第（2）题,任意,使得,其实是恒成立问题,即,恒成立,所以,即.

通过这样的比较,能够进一步认清题目的内涵和实质,易于分辨易混淆的题目.

四、反思解题的方法,提升综合解题能力　　

    很多时候学生很惊叹教师对一些题目的解题方法和技巧,当自己做不出来而经教师讲解之后感觉豁然开朗.然而,下一次遇到可以用同种方法去解答的题目时,学生往往又无从下手.因此,在一些“巧妙”解法后,应该积极反思,争取能够举一反三,把所学的解题方法迁移到其它适合该方法的题目上去,做到多题一解.同时,对同一个题目,在做完以后,还可以反思是否有其它的解法,并在多种解法中分析比较它们的优劣性.经过长期的一题多解和多题一解的训练,可以提高思维的灵活性和变通性,进而有效地提升综合解题能力.

例4、已知求的取值范围.

分析：此题第一次遇到时较难入手,可从函数的值域,三角换元等方向去考虑,但这样的解答过程都比较繁琐.仔细分析题目,满足关系式图形上点在圆上,进一步思考所求式子的结构,可以改写成,由此可以联想到斜率公式,即所求式子从图形的角度看就是表示点与点的连线的斜率,该题转化为圆上的点与的连线的斜率的取值范围,通过把“数”转化为“形”,用数形结合的方法,问题就迎刃而解.

反思：做完此题后,可引导学生反思：

1、为什么初次做的时候很难想到这种解法？自己想不到这种解法的关键在哪里？主要障碍在于把代数式看成几何问题“点与点的连线的斜率”.

2、为什么要把代数问题转化为几何问题？原来题目条件就表示点在圆上.

3、该题主要有什么数学方法？对其它的数学问题有何帮助？原来数形结合的方法和转化的方法在解该题的过程中起了关键性的作用,而且,在看数学问题时,尽量能够把不熟悉的东西向我们熟知的问题上转化,如代数式的认识.

通过上述反思,再来思考下题：求函数的值域,该题用万能公式可以解决,但很麻烦,再从题目的特征去看,结构与有些相似,只是点换成了,恰好在圆上,因此本题转化为圆上点与的连线的斜率的取值范围,这就转化为与例4完全相同的类型题.

    数学的学习要做很多题目,但做题的意义在哪里？从某种程度上说,做一道题,是为了更好地去完成另外的100道题.要实现这个目标,需要我们通过题后反思,把这一道题真正吃透,吃透它的知识点,吃透它的思维过程,吃透它的解题方法与技巧,才能迁移到别的题目上去,久而久之,解题能力会大大提高.

五、反思题目的结论,提高解题的效率　　

 有些题目本身隐藏着一些一般性的结论,而这个结论的得到,需要我们通过题目去“深挖”,“深挖”题目的过程就是反思.通过题后反思,找出一般性的结论和方法以后,就可以运用该结论去解决另外的题目,从而提高解题效率.

例5、（1）（苏教版必修2习题2.2（1）第10题）已知点与两个定点,的距离之比是,则点的坐标应满足什么关系？

（2）（选修2-1第59页例2）求平面内到两个定点的距离之比等于2的动点的轨迹方程.

上述两题的结果满足的方程都是圆的方程.在这两题的基础上,反思：是否有一般性的结论？那该结论是什么？自己尝试猜想,并在猜想的基础上加以证明,可以得到下列一般性的结论：平面内到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是圆.

利用上述结论,可以快速地解出下列高考题：（2008年江苏卷,13题）满足条件的三角形的最大面积为

分析1：设则,由余弦定理,进而,所以,在中,所以当时有最大面积为

分析2：由我们反思得到的结论可知：动点的轨迹是圆,建立适当的直角坐标系,由题意可得即,所以,所以

上述两种方法,显然法二的计算量要小,而且不容易出错,但它来源于我们平时的题后反思,平时的反思让我们知道的结论在考试中能派上用场,提高解题效率.

孔子曰：“学而不思则罔,思而不学则殆”辨证地指出了“学”与“思”的关系.解题者得到了题目的答案,并不意味着思维活动的结束,而是深入认识的开始.通过题后反思,不仅可以巩固基础知识,提高对知识理解的层次,更好地把握数学问题的实质,还能加强知识的有效迁移,增强综合解题能力,提高解题速度.常此以往,可以养成学生独立思考,积极探究的习惯并不断优化学生的思维品质.

参考文献：　　

   [1]何明.数学备考要重视解题反思[J].数学特别关注,2011.　　

[2]杨俊林.例谈数学解题反思的收获 [J],中国数学教育 ,2011,(3).　　

[3]赵菊平,浅谈题后反思[J],新课程学习,2011(6).