本文发表于《上海中学数学》2014.04　　

抓住课堂意外 提升教学智慧　　

余金荣 胡  燮　　

（江苏省无锡市堰桥中学 214174）　　

数学课堂涌现师生共同的智慧，因解决预设的数学问题而迸发出不同的思维火花. 学生在思考中产生新的问题，有些问题是预知的，有些却是意外生成、始料不及，这才是真实的课堂现象，数学课堂正因此而变得灵动、精彩. 近日，笔者在上高三二轮复习课《解三角形与三角函数》时，精心地挑选了课堂的例题和练习，并且对课堂作出了预设. 在一个例题和配套课堂练习结束后发生了课堂意外，引发了对余弦定理逆命题的讨论. 笔者在此教学片断的基础上对正弦定理的逆命题也进行了思考，得到了一种证明正弦定理逆命题成立的方法.

1 预设问题，顺理成章　　

例题 在中，内角，，的对边分别为，，. 已知.

（1）求角的大小；       （2）若，求的取值范围.

解析 （1）（解答过程，略）.

（2）在中，，所以.

由余弦定理可得，

（当且仅当时，取等号），

又，所以.

课堂练习 在中，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求证：；    （2）若，求的取值范围.

    解析 （1）在中，由余弦定理可得，

（当且仅当时，取等号），

所以.

（2）在中，由正弦定理可得：.

由余弦定理可得，

，

解得. 又，于是，所以.

    2 意外问题，风生水起

上述问题结束后，有学生举手.

生：这个问题也可以用基本不等式来研究.

师：如何使用基本不等式呢？

生：对等式左边利用基本不等式，也就是，（当且仅当时，取等号），即，亦即.

这个时候学生议论纷纷：只解出了的下限.

师：如何研究上限呢？

生：从三角形的存在性条件：出发可以试试，在不等式两边同时平方得，，即，解得.

师：非常棒！这样我们的第二种解法就完善了.

生：这道练习题第二种解法使用了基本不等式，为什么要加上三角形存在的条件才能得到正确答案？而例题中的解法和这道练习题的第一种解法不需要考虑三角形的存在性.

（此时，笔者心中暗想：这不正是余弦定理逆命题是否成立的问题吗？）

师：的确，什么时候要考虑三角形的存在性对今后解题非常重要，这样才能提高解题的效率和准确率. 我们再次研究这三个解析过程所用的知识.

生：例题用了余弦定理和基本不等式，练习题的解法一用了余弦定理和三角形内角余弦值的范围的及正弦定理，练习题的第二种解法用了基本不等式、正弦定理和三角形存在性条件.

师：大家分析用到知识的差异.

生：练习题的第二种解法没有用余弦定理，前面我们都用到了余弦定理.

师：也就是说，余弦定理与三角形存在性条件有关系，这会是巧合吗？

生：看看是不是在三角形中用了余弦定理就不需要考虑三角形存在性条件？

师：如果上面的分析正确，应该有这样一个命题：若，，为正实数，，且满足：，则长为，，的线段能构成三角形. 但是这个命题是否正确呢？

生：也就是从条件能推出.

生：由可得，所以

，

也就是，因此长为，，的线段能构成三角形.

师：这样我们证明了：正实数，，在满足的条件下能构成. 那么，角与有没有什么关系呢？

生：. 在中，由余弦定理可得，，即，又，由的单调性可得.

师：这样我们就证明了：若，，为正实数，，且满足：，则长为，，的线段能构成三角形，而且边的对角为. 这个结论很好地回答了我们前面的疑问.

很多同学在议论：这个结论跟余弦定理很相似.

师：这个结论作为一个真命题与余弦定理有没有什么关系呢？

生：这个是余弦定理的逆命题.

师：非常好！这也就说明了余弦定理的逆命题是正确的.

下课铃声已经响起.

3 挖掘问题，推波助澜　　

课堂意外的生成让学生明白了，余弦定理中的等式保证了长为，，的线段能构成三角形. 正弦定理与余弦定理一样是解三角形过程中常用的工具，对正弦定理是否有类似的结论呢？即：若，，为正实数，，且满足：，则长为，，的线段能构成三角形，而且边，，的对角为，，.

但是，取，，，，，，显然上述命题不成立. 上述结论还需要适当修正，实际上，加上条件即可.

定理 如果为正实数，，，且满足：（约定：，），那么长为，，线段能构成三角形，而且边，，的对角为，，.

证明 因为，，所以

，

由函数与的单调性可得，

，

.

因此，

，

，

可化为

，

，

记，则，即有，，于是. 因此，长为，，的线段能构成三角形，记该三角形为，边，，的对角分别为，，，外接圆半径为，则. 以下证明：，，.

由，得，所以，于是

.

又，所以，，（由约定可知，均为锐角），.

因此，，即，等式两边平方，整理得，

等式两边再平方，整理得，

解得，

所以，于是，又与为锐角，由的单调性可得，同理可证，. 定理得证.

    由于正弦函数与余弦函数的差异，使得正弦定理的逆命题的研究比余弦定理逆命题的研究复杂，但定理说明了当三条边和三个角满足正弦定理中的等式且保证三个角之和为时，也能得到与余弦定理逆命题类似的结论.

4 反思问题，为学日益　　

“水尝无华，相荡乃生涟漪；石本无火，相击才生灵光.” 本堂课在学生提出余弦定理与三角形存在性关系的思考后，展开了对余弦定理逆命题的讨论，让学生进一步看到了余弦定理的内涵，加深对余弦定理理解的同时激发了学生探究数学知识本质的兴趣. 笔者也在学生思维的诱导之下思考了正弦定理的逆命题，并给出了一种证明，加深了笔者对正弦定理的认识.

布鲁姆说过：“没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了.”课堂教学是一个动态的不断发展推进的过程，具有灵活的生成性和不可预测性. 新的《数学课程标准》中也提出：“有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者.”因此，面对动态的数学课堂，教师要充分发挥组织者和引导者的角色，及时调整课堂预设，利用难得的课堂意外资源，调动学生的学习积极性，让这些意外成就充满活力的数学课堂. 　　

课堂教学艺术的展示对教师提出了更高的要求，课堂意外的发生需要教师具有相应的调控、应变能力，而这种驾驭能力恰恰是教学智慧的合成，需要教师不断加强学习，站在教与学的角度，提升专业知识和人文素养，真正扮演好教师作为研究者的角色. 在笔者描述的教学片断中也给了我们一个建议：在教学工作中，除了钻研教材教法，还要站在更高的角度来研究每一个数学知识，多角度多方位的深入挖掘初等数学知识，不断提高自己的业务水平，确实做到教学相长.