解决单调性与极值的逆向问题，如：

题1.已知函数在R上是减函数，求实数a的取值范围；

题2.已知函数在x=1处有极值10，求a,b的值。

此类问题学生的错误率很高，主要是逻辑错误，具体表现为充要条件的错乱。暴露出学生惯于解决同向问题而不善于解决逆向问题，逆向思维训练不足，导致对充要性的认识不足、不精确。

所谓“逆向思维”，是指与原先思维相反方向上的思考与研究。逆向思维在数学中有着广泛的应用，比如逆运算、反函数概念的提出等都可看成逆向思维的具体应用。数学陈述性知识的认知单位是命题,就命题的研究而言，逆命题的分析也是逆向思维，研究逆命题的一个重要功能就是可以借以发现原命题中的前提是否为相应结论的必要条件，对于深化我们对有关结论的理解并直接促进认识精确化至关重要。

基于以上分析，对于“导数在研究函数中的运用”这部分内容的教学，笔者采用“训练逆向思维，精确逻辑认知”的教学对策，进行如下教学设计，强化学生识别逆向问题的意识，提高分析解决逆向问题的能力。

一、课前设计说明

因为单调性、极值的逆向问题解决策略是类似的，所以本研究只针对单调性的逆向问题给出教学设计，极值的逆向问题可参考之。

为了解决单调性的逆向问题，笔者把单调性的教学分解为两部分，螺旋式上升。第一部分是单调性的新课《3.3.1 单调性》，在这节课中，学生只要知道和理解导数正负是单调性的充分不必要条件，只需进行同向思维训练，而不进行逆向思维训练。第二部分放在《3.3.2最大值与最小值》、《3.3.3极值》之后，安排一节习题课《导数在研究函数中的应用》上，在这节课上学生需要精确理解导数正负与单调性的关系，会正确解决单调性的逆向问题。这样安排的原因有三点：1.避免冲淡新课的重点；2.避免随意拔高难度，学生一下子消化不了；3.单调性的逆向问题会转化为不等式的恒成立问题，进而转化为函数最值问题，所以放在《3.3.2最大值与最小值》之后较妥。

二、教学设计片段          

《3.3.1 单调性》  教学设计片段

建构数学

导数与单调性的关系结论：

一般地，设函数y＝f(x)，如果在某区间上＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果＜0，那么f(x)为该区间上的减函数。

师：以后单调性的证明方法除了定义法，还可以用今天探讨出的导数与单调性的关系结论，简称导数法。

【设计意图】及时小结，将新的方法纳入整合进学生已有的认知结构中。

思考：上述结论可以看成一个真命题，请先思考命题：“在某区间上＞0，那么f(x)为该区间上的增函数”其逆命题成立吗？

【设计意图】进行逆命题分析，预防学生不加考虑地将＞0作为单调递增的充要条件使用。      

师：通过举反例，我们知道了逆命题不成立，所以导数正负是函数单调性的充分不必要条件。

在区间D上是增（或减）函数，反之不成立。（板书）

【设计意图】改用推断符号“”表征命题，简洁明了，便于学生辨清命题的条件与结论，加强充、要性认识，便于理解记忆。

数学运用

例1．函数f(x)＝x²－4x＋3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？

例2．函数f(x)＝2x³－6x²＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？

例3．求函数，的单调减区间。

课堂练习

教课书第87页练习1（2），2,3（2）

【设计意图】正向思维训练，掌握用导数求函数单调区间的步骤。

《导数在研究函数中的应用习题课》教学设计片段

先行组织

师：前面我们学习了如何利用导数求函数的单调区间和极值，今天我们研究其逆向问题，已知单调区间和极值，求参数的范围或值。

【设计意图】通过“先行组织者”告知训练的目标。

例题精讲

例1：求函数 的单调区间。

【设计意图】通过例题回顾总结导数与单调性的关系结论：在区间D上是增（或减）函数，

问题1：在新课《3.3.1 单调性》中我们研究过了上述命题的逆命题，其逆命题成立吗？如果不成立，请举出一个反例。

问题2：我们强调导数正负是函数单调性的充分不必要条件。你能将逆命题的结论修改，使之成为真命题吗？

结论：在区间D上恒成立在区间D上是增（或减）函数

【设计意图】学生遇到单调性逆向问题时，会不加考虑地将＞0作为单调递增的充要条件使用，产生错误。进行逆命题分析，有助于认识清楚单调性与导数正负的关系，才能正确解决单调性的逆向为题。

变式1：函数f(x)＝x³＋ax+1在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围。

解：f′(x)＝3x²＋a

f′(x)在区间[1，＋∞)上是增函数

f′(x)＝3x²＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x²在[1，＋∞)上恒成立

∴  a≥－3.

【设计意图】及时进行逆向思维训练。即使刚研究过单调性的必要条件，但肯定会有很多学生仍惯于正向思维，做成<0；另外，会有学生没转化为不等式恒成立问题，而是转化为解不等式问题，导致不会求参，教师应及时反馈,促进学生的正确认知。

变式2：已知函数在内单调递减，求实数a的取值范围。

解：

在内单调递减

在上恒成立

问题：请同学们将代入导函数，发现导函数如何？

合作探究1：是的，导函数=0，更准确的说是导函数在内恒等于0。说明参数时，函数在内没有单调递减。为什么会解出不符合题意的参数？

师：对同学们的探讨做一个总结，此题事实上说明了是为减函数的必要不充分条件。而凡是用“必要不充分条件”解的题目，其充分性都未加证实，因此，欲求充要条件的答案都必须检验，这是解题的必不可少的步骤。

变式2检验：当时，=0在内恒成立，函数在内不单调递减，  舍去    

经检验，

问题：请同学仿照变式2的正确解答，自主练习，检验变式1 的答案a≥－3的充分性。

变式1检验：当时，=，仅在x=时，f′(x)＝0，函数在单调递减，符合题意。     

      经检验， a≥－3    

 师：请同学总结如何解决单调性的逆向问题。

【设计意图】让学生“从例中学”，“从干中学”，变式1的检验不同于变式2，学生肯定会遇到困难，此时教师再引导反馈，促使学生深化认知。另外，总结如何解决单调性的逆向问题，形成“产生式”，提高解题技能。

合作探究2：请根据变式1,2，探究函数数单调的充要条件是什么？

结论：

1.单调性的充分条件

在区间D上是增（或减）函数；

2.单调性的必要条件

在区间D上恒成立在区间D上是增（或减）函数；

3.单调性的充要条件

，且f′(x)在区间D的任意子区间内都不恒等于0⇔ f(x)为在区间D上是增（或减）函数。

师：回看变式1的解答，由于导函数f′(x)＝3x²＋a是二次函数，所以f′(x)＝3x²＋a≥0最多只会有2个x使f′(x)＝0，所以比较隐晦地保证了单调性的充要条件，所以变式1事实上可省去检验。

【设计意图】1.虽然教材上的结论和思考只涉及单调性的充分条件和必要条件，但从教学实践中可以了解到不研究单调性的充要条件，学生对单调性的认知不能达到深入和精确化，他们仍会把单调性的充分条件或必要条件当成充要条件使用，所以有必要让学生了解单调性的充要条件。2.及时总结，纳入已有的认知结构（图式），便于学生理解、记忆其正确提取。